Tugas Matematika

Pertemuan 3,4 & 5 Mencari nilai maksimum dan minimum relatif dan

Mencari nilai ekstrim.

Nama : Cecep Maryadi               

NPM   : 31113845

1. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = 2x³ - 15x² + 36x pada interval [1, 5].

Penyelesaian :

1) Menentukan nilai stasioner f ─> f’(x) = 6x² – 30x + 36

untuk f’(x) = 0 maka 6x² – 30x + 36 = 0

x² – 5x + 6 = 0

( x – 2)( x –3) = 0

x – 2 = 0 → x = 2 atau

x – 3 = 0 → x = 3

terdapat dua titik stasioner pada interval [1, 5]

untuk x = 2 maka f(2) = 2(2)³ – 15(2)² + 36(2) = 28

untuk x = 3 maka f(3) = 2(3)³ – 5(3)² + 36(3) = 27

2) Menentukan nilai f(1) dan f(5)

f(1) = 2(1)³ – 5(1)² + 36(1) = 23

f(5) = 2(5)³ – 15(5)² + 36(5) = 55

3) Dari nilai-nilai tersebut dapat kita lihat bahwa nilai maksimum mutlak f sama dengan 55 dan nilai minimum mutlak f sama dengan 23.

2. Tentukan di mana f(x) = 2x³ – 9x² – 24x naik, turun, cekung ke atas, cekung ke bawah.

Penyelesaian:

f(x) = 2x³ – 9x² – 24x

f’(x) = 6x² + 18x – 24

§  f(x) naik jika f’(x) > 0

6x² + 18x – 24 > 0 kedua ruas di kali 1/6

x² + 3x – 4 > 0

(x + 4)(x – 1) > 0

§  f(x) turun jika f’(x) < 0

x² + 3x – 4 < 0

(x + 4)(x – 1) < 0

§  f(x) cekung ke atas jika f’’(x) > 0

f’(x) = x² + 3x – 4

f’’(x) = 2x + 3

2x + 3 > 0

2(x + 3/2) > 0

_

Titik pemisah adalah -4 dan 1 mereka membagi sumbu x atas tiga selang : (-∞, -4), (-4, -1) dan (1, ∞). Dengan memakai titik uji -5, 0, 2, kita simpulkan bahwa f’(x) > 0 pada yang pertama dan terakhir dari selang-selang ini dan bahwa f’(x) < 0 pada selang tengah (gambar di atas). Jadi menurut teorema A f naik pada (-∞, -4], dan [1, ∞) dan turun pada [-4, -1], dan dapat kita simpulkan juga bahwa f cekung ke atas pada (-3/2, ∞).

3. Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x² + 4x – 5, pada (-∞, ∞).

Penyelesaian :

Fungsi polinom f kontinu di mana-mana dan turunannya f’(x) = 2x + 4 ada untuk x. Jadi satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal dari f’(x) = 0, yakni x = –2 karena f’(x) = 2(x + 2) < 0 untuk x = –2 , f turun pada (–∞, –2] dan karena 2(x + 2) > 0 untuk x > –2, f naik pada [–2, ∞). Karena itu menurut uji turunan pertama f(–2) = –9 adalah nilai minimum lokal f, karena–2 adalah satu-satunya bilangan kritis tidak terdapat nilai ekstrim lain. Grafik f diperlihatkan dalam gambar di bawah ini.

4. Luas permukan sebuah balok dengan alas persegi adalah 150 cm². Tentukan nilai maksimum volum balok tersebut.

Penyelesaian :

Perhatikan gambar di bawah ini, sisi alas x dan tinggi t.

Luas permukaan 2x² + 4xt = 150, kedua ruas di kali ½ menjadi

x²+ 2xt = 75

t = (75 – x²) / 2x

Volum V(x) = x²t = x² [ (75 – x²) / 2x]

V(x) = ½ (75x - x³)

V’(x) = 75/2 – 3x²/2

V’(x) = 0 , maka 75/2 – 3x²/2 = 0

25 – x² = 0

x = -5 atau x = 5

Nilai x ≥ 0, jadi yang memenuhi adalah x = 5.

V mencapai maksimum untuk x = 5, sehingga volum maksimum V adalah

V = ½ (75 . 5 – 5³) = ½ (375 – 125) = 125 cm^3.

5. Andaikan C(x) = 6400 + 1,25x + 30x^1/3 rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal dan hitung mereka bilamana x = 2000.

Penyelesaian :

Biaya rata-rata : C(x)/x = 6400 + 1,25x + (30x/3)^1/3

Biaya marjinal : dC/dx = 1,25 + (30x/3)^-2/3

Pada x = 2000, masing-masing mempunyai nilai :

x = 2000 → [6400 + 1,25 (2000) + 30 (2000)^-2/3 ] / 2000

= (6400 + 2500 + 600) / 2000

= 4,75

x = 2000 → (1,25 + 10(2000)^-2/3

= (1,25 + 0,2)

= 1,45

Ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp.4.750 untuk memproduksi 2000 satuan yang pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan di atas 2000 hanya memerlukan biaya Rp.1.450.

6. Tentukan limit x mendekati 2 dari g(x) = (x² + 4) / (x – 2).

Penyelesaian:

		x mendekati 2 dari kiri				↓	x mendekati 2 dari kanan
x		1,8	1,9	1,99	1,999	2	2,001	2,01	2,05
g(x)		-36,2	-76,2	-796	-7996	Tidak ada limit	8004	804	164
		g(x) sangat kecil				↑	g(x) sangat besar

Tabel di atas menunjukkan bahwa limit g(x) di mana x mendekati 2 dari kiri adalah -∞ dan limit g(x) di mana x mendekati 2 dari kanan adalah +∞. Karena hasil limit g(x) di mana x mendekati 2 dari kiri tidak sama dengan dengan hasil limit g(x) di mana x mendekati 2 dari kanan maka limit x² + 4 / x – 2 di mana x mendekati 2 sama dengan tidak ada.

7. Gambarlah grafik fungsi y = (x² – x – 2) / (x + 2)

Penyelesaian :

1. Koordinat titik potong dengan sumbu x, y = 0

(x² – x – 2) / (x + 2) = 0

(x² – x – 2) = 0

(x – 2)(x +1) = 0

x – 2 = 0 → x = 2

x + 1 = 0 → x = -1

titik potongnya adalah (2, 0) dan (-1, 0)

2.Titik potong dengan sumbu y, x = 0

y = (0² – 0 – 2) / (0 + 2) = -1

Titik potongnya (0, -1)

3. Asimtot tegak

x + 2 = 0 → x = -2

4. Asimtot miring

y = (x² – x – 2) / (x + 2)

= (x² – x – 6 + 4) / (x + 2)

= [(x -3)(x – 2) / x + 2] + 4 /(x + 2)

= (x – 3) + [4 / (x + 2)]

y = -3

5. Harga Ekstrim

y = (x² – x – 2) / (x + 2)

m = (x² – x – 2) / (x + 2)

ó m(x – 2) = x² – x – 2

ó mx + 2m = x² – x – 2

ó x² – x – mx – 2m – 2 = 0

ó x² - (1 + m)x - (2m + 2) = 0

Syarat agar x real, D ≥ 0

ó (1 + m)² – 4(1) [-2(2m + 2)] ≥ 0

ó m² + 2m + 1 – 4( -2m – 2) ≥ 0

ó m² + 2m + 1 + 8m + 8 ≥ 0

ó m² + 10m + 9 ≥ 0

ó (m + 9)(m + 1) ≥ 0

m = -9 atau m = -1

§  Untuk y = -9 merupakan titik maksimum yang di capai pada x= -b / 2a =(1 + y) / 2(1) = [1 + (-9)] / 2 = -4

Koordinat titik maksimum (-4, -9)

§  Untuk y = -1 merupakan titik minimum yang di capai pada x= -b / 2a = (1 + y)/ 2(1)= [1 + (-1)] / 2 = 0 / 2 = 0

1

X

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

·

·

x = -2

asimtot miring

asimtot tegak

Koordinat titik minimum (0, -1)

8. Andaikan f(x) = 2x³ -15x² + 36x pada [1, 5]. Cari semua bilanganc yang memenuhi kesimpulan terhadap teorema nilai rata-rata.

Penyelesaian :

f’(x) = 6x² – 30x + 36

f(b) = f(5) = 2(5)³ -15(5)² + 36(5) = 250 – 375 + 180 = 55

f(a) = f(1) = 2(1)³ -15(1)² + 36(1) = 2 – 15 + 36 = 23

f’(c) = f(b) - f(a) / b – a = f(5) – f(1) / 5 – 1 = 55 – 23 / 4 = 32 / 4 = 8

Karena itu kita harus menyelesaikan

f’(c) = 6c² – 30c + 36

ó6c² – 30c + 36 = 8

ó6c² – 30c + 28

Dari rumus abc untuk persamaan kuadrat, terdapat dua penyelesaian[( 30 +-(√900 – √672] /12 yang berpadanan terhadap C₁ = 1,24 dan C₂ = 3,76.