Tugas Matematika

Pertemuan 8,9 & 10 Menentukan jenis deret.

Nama : Cecep Maryadi               

NPM   : 31113845

1.                      Tentukan jumlah tak terhingga deret 16 + 32 + 64!

1. Dari deret 64 + 32 + 16 + ….. didapat bahwa a = 64 dan r = 1/2 Jadi,

2.     

2.      Suku pertama dari deret konvergen adalah 2, sedangkan jumlah tak terhingganya adalah 4. Tentukan rasio deret tersebut!

  2. Diketahui a = 2 dan S∞ = 4, maka,

3.      Teorema : ” Jika a_n ≤ b_n untuk n = 1,2,3,…. dan b_n konvergen maka a_n konvergen”

Dengan melihat teorema diatas, menyatakan bahwa untuk menentukan konvergensi maka kita gunakan a_n dan b_n dari deret yang akan dicari.  Setelah didapat a_n dan b_n maka kita bandingkan nilainya berdasarkan n = 1, 2, 3, …. Bagaimana untuk deret divergen? deret divergen didapat jika a_n > b_n dan b_n divergen. Berikut contohnya :

Tentukan konvergensi deret a_n = 1/(n²+3)

Jawab :

Diketahui a_n = 1/(n²+ 3), lalu kita tentukan b_n yaitu dengan menghilangkan konstanta pada a_n, sehingga didapat b_n = 1/n² .

Lalu kita bandingkan

                        a_n      |      b_n

n = 1 ,           1/4    <      1

n = 2,            1/7   <      1/4

n = 3,            1/12  <     1/9

dst…

Kita gunakan sampai n = 3 saja untuk mengetahui apakah a_n ≤ b_n. Jika n = 3 kita belum dapat mengambil kesimpulan, maka dapat dilanjutkan hingga kita dapat mengambil kesimpulan. Sesuai dengan soal diatas, maka hasil tes banding didapatkan bahwa a_n ≤ b_n. Dan kalau kita lihat, bahwa b_n = 1/n² merupakan deret yang konvergen. Sehingga sesuai dengan teorema a_n ≤ b_n dan b_n konvergen, maka dapat kita ketahui bahwa a_n = 1/(n²+4) adalah konvergen.

4.      Deret geometri a + ar + ar2 + ar3 + … = konvergen menuju S jika – 1< r <1.
Bukti
Misalkan Sn = a + ar + ar2 + ar3 + … + arn-1, maka
Sn – rSn = (a + ar + ar2 + ar3 + … + arn-1) – (ar + ar2 + ar3 + … arn-1 + arn)
Sn(1 – r) = a – arn
Û
Jika |r| < 1 maka , sehingga
S =

5.       ∑ [( -1)ⁿFB(2n+1)] /[(2n +1) 
n=0 
Jawab : FB(2n+1)] /[(2n +1) < 3^log(2n+1) / (2n+1) 
. . ∞
3 * ∑ [log(4n+1)] /(4n +1)] - [log(4n+3)] /(4n +3)]
. . n=0
kemudian kita uji dengan integral
. . . ∞
3 * ∫ ( [log(4x+1)] /(4x +1)] - [log(4x+3)] /(4x +3)] ) dx
. . 0
yang kalau dihitung dengan matlab menghasilkan nilai
3/8*log(3)^2 --> ada nilai tertentu
jadi terbukti kalau deret
∑ 3*[( -1)ⁿ log(2n+1)] /(2n +1)
n=0
adalah konvergen
karena untuk setiap bilangan ganjil n FB(n) <= 3*log(n) maka deret
∑ [( -1)ⁿFB(2n+1)] /[(2n +1)
n=0
juga konvergen